Question

已知函数f(x)=2x-2a/x-lnx（其中a∈R）(1)试讨论f(x)的极值情况，（2）。。

（2）如果f(x)只有一个极值，且当x∈[1,2]时，函数最大值为f(2),求实数a的取值范围。
我想要详细过程，谢谢~

Answer 1

（1）f'(x)=2+2a/x²-1/x (x>0)
f'（x)=0 f'(x)*x²=0 2x²-x+2a=0 (x>0)
下面讨论在x>0时，导函数为0的点的个数。
令g(x)=2x²-x+2a （x>0) 可知， g(x)对称轴为x=1/4 开口向上，画出图像，
①若g(0)>0，△>0 那么就会和x轴正半轴有两个交点
即g(0)=2a>0 a>0 1-16a>0 0<a<1/16 这时，导数为0点为 x1,x2求根公式做表格 x1=1-根号（1-16a) x2=1+根号（1-16a)
（0，x1) (x1,x2) (x2,+∞）
f'(x) + - +
f (x) 增 减 增
f(x1) 极大 f(x2)极小
② 若g(0)<=0，△>0 那么就会和x轴正半轴有一个交点
此时， a<=0 a<1/16 所以，a<=0 此时 导函数为0且在x正半轴的点为X X=1+根号（1-16a) 做表格
（0，X) (X,+∞）
f'(x) - +
f(x) 减 增
f(X)极小
③ △<0 那么图像一直在x轴上方，和x轴正半轴没有交点，f'(x)恒大于0，所以，f(x)一直单调递增，所以没有极值点
④ △=0 这时有一个交点，而且这个交点可以求出来，a=1/16，x=1 但是，这个交点x=1两边的f'(x)都是大于0的，所以，f(x)在x∈（0，1）增 在（1，+∞）也增，所以，还是没有极值点

（2）由（1）知，函数只有1个极值点，只能是情况② 即 a<=0
并且 f(1)<=f(2) （由于已经判断x1<1<x2<2了，所以只要这个限定条件就够了）
f(1)=2-2a f(2)=4-a-ln2 2-2a<=4-a-ln2 a>=-2+ln2
所以a的取值范围是 -2+ln2<=a<=0

Answer 2

f‘（x）=2+2*a/x^2-1/x,t=1/x,x>0,故t>0,2+2at^2-t=0的根，讨论a>0,在讨论判别式，小于零无解，等于零解不是极值，大于零则x1x2>0,x1+x2>0,两个正极值，a=0,一次函数，t=2，x=1/2,一个极值；a<0,x1x2<0,x1+x2<0,一根正一根负，一个极值。第二问极值必为最小值，直接计算单调性知最值只可能在边界取到（先减后增），然后f1<=f2，解不等式，注意a<=0