Question

n趋近于无穷大,(1+x^n(x^2/2)^n)^1/n的极限

n趋近于无穷大,(1+ x^n+(x^2）/2)^n)^1/n的极限

Answer 1

n趋近于无穷大，1/n=0，所以原式=1

Answer 2

你好！

x应该满足 x>0 吧

若 0<x<1 ，x^n → 0
原式 = 1

若 x = 1，
原式 = lim(n→+∞) (1+1+ 1/2^n) ^(1/n)
= (2+0)^0 = 1

若 x>1
令原式 = A
lnA = 1/n ln [ 1+x^n +(x²/2)^n ]
由洛必达法则
lim(n→+∞) lnA = [ x^n lnx + (x²/2)^n ln(x²/2) ] / [ 1+x^n +(x²/2)^n ]

若 1 < x < 2 ，即 0< x/2 < 1 ，(x/2)^n →0
同除以 x^n
lim(n→+∞) lnA
= lim(n→+∞) [ lnx + (x/2)^n ln(x²/2) ] / [ 1/x^n + 1 + (x/2)^n]
= lnx
∴lim(n→+∞) A = x

若 x=2
lim(n→+∞) lnA = 2^n ( ln2 + ln2 ) / [ 1 +2^(n+1) ]
= lim(n→+∞) 2ln2 / ( 1/2^n + 2)
= ln2
∴lim(n→+∞) A = 2

若 x>2 ，则 0 < 2/x < 1，(2/x)^n → 0
lim(n→+∞) lnA 同除以 (x²/2)^n
= lim(n→+∞) [ (2/x)^n lnx + ln(x²/2) ] / [ 1/(x²/2)^n + (2/x)^n + 1 ]
= ln(x²/2)
∴lim(n→+∞) A = x²/2

综上，当 0<x≤1 时，原式 = 1
当 1<x≤2时，原式 = x
当 x>2时，原式 = x²/2
可以合并为 原式 = max { 1，x，x²/2 }

★更简单的方法★

∵ max{1，x，x²/2 } ^n ≤ 1 + x^n + (x²/2)^n ≤ 3* max{1，x，x²/2 } ^n
∴ max{1，x，x²/2 } ≤ [ 1 + x^n + (x²/2)^n ] ^(1/n) ≤ max{1，x，x²/2 } * 3^(1/n)

而 lim(n→+∞) 3^(1/n) = 1
由夹逼定理
原式 = max{1，x，x²/2 }

【最终答案】
lim(n→+∞) [ 1 + x^n + (x²/2)^n ] ^(1/n) ，x>0
= max { 1，x，x²/2 }

★更一般的结论★（用夹逼定理即可证明）
lim(n→+∞) ( a₁^n + a₂^n + a₃^n +……)^(1/n) ，其中 ai >0
= max { a₁，a₂，a₃，……}