Question

数列收敛和有界性

谁能给我解释一下收敛和有界性之间的联系，关于极限的正负有什么要求，还有什么是保号性。。。请尽量别用术语，简单一点

Answer 1

1、数列收敛与存在极限的关系：

数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；

2、数列收敛与有界性的关系：

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！

例如：Xn=1，-1，1，-1，.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。

收敛数列与其子数列间的关系：

1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M

2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

3、如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

扩展资料

设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

Answer 2

收敛必有界；有界不一定收敛。保号性是指如果（以函数的保号性为例）函数在趋于一个数X的极限大于某个数R，那么在数X的某个去心邻域中的任意使函数有定义的点处，函数值都比R大（就是一个大，一片大）。你说的极限的正负是什么意思，我表示不懂

追问

就是为什么收敛一定有界，有界不一定收敛，能给我讲一下具体内容吗，还有保号性，能举一个具体例子吗

追答

收敛有界可以再极限定义中的ε取特殊值（比如ε=1），结合三角不等式证明（数学分析书里面都有）；
数列{1，-1,1，-1.........}这样的数列有界但不收敛；
保号性如f(x)=sinx+1，在x趋于0的时候趋于1，大于1/2。那么一定存在0的某个δ邻域（0-δ，0+δ）使得任意的x属于这个邻域有：
f(x)>1/2
成立。

Answer 3

收敛数列有界性证明及其证明技巧。