Question

求极限，极限问题，急急，谢了

Answer 1

因当 x→0 时，算式的分子和分母都趋于0，属于 0/0 型极限式，可以使用罗必塔法则；
lim{x→0}{∫(x-t)f(t)dt /[x∫f(x-t)dt]} = lim{[x∫f(t)dt-∫tf(t)dt] /[x∫f(x-t)dt]}
= lim{[xf(x)+∫f(t)dt-xf(x)] /[xf(0)+∫f(x-t)dt]}……使用了罗必塔法则
= lim{∫f(t)dt/[xf(0)+∫f(u)du]}……令 u=x-t，du=-dt，u=0→x；
= lim{f(x)/[f(0)+f(x)]}……使用了罗必塔法则
= 1/2

追问

∫问题 1：第一次洛必达法则中，-∫tf(t)dt求导后∫f(t)dt-xf(x),，不是直接是-xf(x)吗

追答

是；但它前面的 x∫f(t)dt 对 x 求导后分作两项：
[x∫f(t)dt-∫tf(t)dt]' =[x∫f(t)dt]'-[∫tf(tdy)]' ={1*[∫f(t)dt]+x*[∫f(t)dt]'} -x*f(x) =∫f(t)dt+x*f(x)-x*f(x) ===∫f(t)dt