Question

高数极限题请教

lim(x,y)->(0,0) x^2y^2 ln(x^2+y^2)
这题怎么做 求教

Answer 1

答案是0.

首先，当0<u<=1时有1/u+ln(u)>0. (1)
这很容易可以通过求导证明。
(1)意味着
|ln(u)|<1/u. (2)
利用(2)，我们有
|x^2y^2 ln(x^2+y^2)| < x^2y^2/(x^2+y^2). (3)
(3)的右边有极限0，故左边绝对值的极限就是0.

追问

能不能 极坐标做 x=ρsinθ y=ρcosθ

追答

我不明白你的意思是“用极坐标做”还是用“x=ρsinθ y=ρcosθ”做。前者完全没明白什么叫“用极坐标做”；而后者肯定是不对的。因为，如果那样假设，则有x^2+y^2=\rho^2，这说明只考虑了点(x,y)始终在同一个圆上向原点趋近的情况。依题意，我们需要考虑到两个变量x和y独立地分别趋近于原点的极限。

追问

老师是这么说的 你说的u是什么啊

追答

哦。那答案就是“不能 极坐标做 x=ρsinθ y=ρcosθ”。
u是变量，意指对任何00.