Question

证明不等式：a.b.c∈R,a^4+b^4+c^4≥abc(a+b+c)

Answer 1

由四元均值不等式，得：
a^4+b^4+c^4+a^4>=4abca
a^4+b^4+c^4+b^4>=4abcb
a^4+b^4+c^4+c^4>=4abcc
以上三式相加得：
4(a^4+b^4+c^4)>=4abc(a+b+c)
即：a^4+b^4+c^4≥abc(a+b+c)

Answer 2

a^4+b^4>=2a^2*b^2
a^4+c^4>=2a^2*c^2
2a^4+b^4+c^4>=4a^2*bc
同理2b^4+c^4+a^4>=4ab^2*c
2c^4+a^4+b^4>=4abc^2
相加
4a^4+4b^4+4c^4>=4a^2*bc+4ab^2*c+4abc^2
即a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)
当a=b=c时取得等号