Question

求解数学题！！急。要详解过程

一块正方形的纸板的边长为a，将其四角各截去一个大小相同的边长为x的小正方形，再将四边形折起做成一个无盖方盒，问所截小正方形边长x为多少时，才能使得无盖方盒容积最大？

Answer 1

你好！

正方形纸板四角截去边长为x的正方形后，剩余部分的长度是a-2x，这就是无盖方盒的表面和地面的正方形长，而无盖方盒的高是x
所以，容积=（a-2x）×（a-2x）×x=4x³-4ax²+a²x

对上式求导，得12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a）
当（6x-a）（2x-a）＞0时，即x＞a/2，或者x＜a/6时，函数单调递增
当（6x-a）（2x-a）＜0时，及a/6＜x＜a/2时，函数单调递减
所以，当x=a/6时，函数有最大值，最大值是2a³/27

Answer 2

设所求容积为V，由题意易得a-x＞0，a/2-x/2＞0，则
V=(a-x)²x
=4(a/2-x/2)²x ≤ 4[(a/2-x/2+a/2-x/2+x)/3]³=4a³/27，当a/2-x/2=x，x=a/3取等号
即截小正方形边长为a/3时，无盖方盒容积最大

Answer 3

设S为容积，则S=x*(a-2x)^2 求导数得S'=12x^2 - 8ax+a^2 解得x=(2a+(或-)根号a)/6 由于S'最高次系数为正数，所以函数S'图象为“ U ”口向上，所以函数S图象先递增，再递减，最后再递增，又由于x的范围为0<x<a/2,所以x取（2a-根号a）/6时，容积S为最大的。