Question

题目要求是：问当λ取何值时，齐次线性方程组有非零解？

分析题目得到当D=0时，方程组有非零解。
即求使以三个方程系数为元素的行列式为0的λ的值。
我根据行列式的性质：如果有两行（列）元素对比例，则行列式的值为零。
当第一行与第三行元素对应成比例时，得到一个λ=-1，但是答案是λ=0或λ=2或λ=3
那么请问 这道题目正确的求解方法是什么呢？

Answer 1

注意λ= -1时，第一行2，-2，4与第三行元素1，1，2并没有对应成比例
方程有非零解，即系数矩阵的秩小于3，或者其行列式值等于0
1-λ -2 4
2 3-λ 1
1 1 1-λ 第2列减去第1列，第3列减去第1列*(1-λ)
=
1-λ λ-3 4-(1-λ)*(1-λ)
2 1-λ 1-2(1-λ)
1 0 0 按第3行展开
=[4-(1-λ)*(1-λ)] *(1-λ) -(λ-3)*[1-2(1-λ)]
=(-λ²+2λ+3) *(1-λ) - (λ-3)*(2λ-1)
=(λ-3)*(-1-λ)*(1-λ) - (λ-3)*(2λ-1)
= (λ-3) * (λ² -1- 2λ +1)
= (λ-3) * (λ² -2λ)
= λ *(λ-3) * (λ-2)
行列式值等于0，
那么 λ *(λ-3) * (λ-2)=0
就解得λ=0，2或3

Answer 2

这种不必费心去用性质，直接展开行列式即得：
D=(1-λ)²(3-λ)-2+8-4(3-λ)+4(1-λ)-(1-λ)=(1-λ)²(3-λ)-(3-λ)=(3-λ)[(1-λ)²-1]=(3-λ)λ(λ-2)，
由D=0得λ=0或λ=2或λ=3。

另外：当第一行与第三行元素对应成比例时，得到λ=3。而λ=-1仅使第一、三项的系数成比例，并不能使第一、三行的各项系数成比例。

追问

哦 我把第一行 第二个元素抄成2了 少个负号。。。。

Answer 3

着急么？我明天写好可以扫描给你。最快明天。

追问

别人帮忙回答了 就不等你了 不好意思 还是谢谢你。。。。