Question

已知定义在R上的函数f（x）对全称x x1 x2∈R 满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2

已知定义在R上的函数f（x）对全称x x1 x2∈R 满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2 当x>0时 有f（x）>-2 求证f（x）在R上是增函数
（2）已知函数 f（x）对全称x y∈（0 正无穷）满足f（xy）=f（x）+f（y）.
当>1时 有f（x）在（0 正无穷）上是减函数

Answer 1

1)证明：

由 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，知f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)+2,所以f(0)=-2，
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)+2，f(x)+f(-x)=-4，所以f(-x)=-4-f(x)
对于x1>x2∈R，
有x1-x2>0，f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)+2=f(x1)+(-4-f(x2))+2=f(x1)-f(x2)-2>-2
所以f(x1)-f(x2)>0，所以f（x）在R上是增函数
2)的条件好象不足。

追问

证明是减函数
x>1时
f（x）0
f（x2-x1）>0
f（x2+（-x1））=f（x2）+f（-x1）+2>0
只要证明
f（x2）>f（-x1）+2
就是增函数了。
令x1=x2=0
f（0）=2f（0）+2
f（0）=-2
令x1=x1 x2=-x1
f（0）=f（x1）+f（-x1）+2
f（x1）=-f（-x1）+2
得函数是增函数
第二题也一样
令值 值得深思
求别的方法

追答

这是已知条件吗？
f（xy）=f（x）+f（y）

x>1时f（x）0，所以在（0，1）f(x)>0
1.令x>y>1，有x/y>1，f(x)-f(y)=f(x/y) x>y>0，有x/y>1，f(x)-f(y)=f(x/y) <0，所以f(x)在（0，1）递减

3.又f(1)=0,
综合1、2、3知道f(x)在（0，正无穷）是递减的。