Question

定积分难题！！！高手进！！！大神进！！！我已经连重积分的方法都想过了但做不出，题目是一道竞赛题。

Answer 1

∫arctanx/{x[√（1－x²）]} dx
=-√(1-x²)arctanx+∫√(1-x²)/(1+x²)dx.
设x=cost,则dx=-sintdt.
∴∫√(1-x²)/(1+x²)dx
=-∫sin²t/(1+cos²t)dt
=∫(cos²t-1)/(1+cos²t)dt
=∫(1-2/(1+cos²t))dt
=t-2∫sec²t/(2+tan²t)dt
=t-2∫1/(2+tan²t)d(tant)
=t-√2∫1/(1+tan²t/2)d(tant/√2)
=t-√2arctan(tant/√2)+C
=arccosx-√2arctan(√(1-x²)/(√2x))+C, (C是积分常数)。
故∫arctanx/{x[√（1－x²）]} dx
=-√(1-x²)arctanx+arccosx-√2arctan(√(1-x²)/(√2x))+C,
(C是积分常数)。

∫（1,0）原式=arctan1+√2
=π/4+√2
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Answer 2

被积函数的不定积分不能用初等函数表出，本题的精确值大概不存在，近似值为1.38，用泰勒展开式将arctanx展开，夹逼可得。

Answer 3

改成arctantx，然后对t求导试试？

Answer 4

好难啊难啊