Question

求根号X平方+4+根号(12-X)平方+9的最小值

Answer 1

解：建立几何模型。
设AB=12，AC⊥AB且AC=2，BD⊥AB且C、D在AB两侧，BD=3.。P在线段AB上，且AP=x。则
CP=√（x²+4), DP=√[(12-x)²+9]
求根号X平方+4+根号(12-X)平方+9的最小值
即求CP+DP的最小值，显然这个最小值为线段CD。
作CE⊥DB于E。则CE=AB=12，BE=AC=2，DE=BD+BE=5
∴CD=√（CE²+DE²）=13
∴根号X平方+4+根号(12-X)平方+9的最小值为13

Answer 2

解：依题意，可转化为求函数f(x)=√x²+4+√(12-x)²+9的最小值
∵√x²≥0,√(12-x)²≥0,4,9均为大于零的常数，
∴问题可转化为求函数h(x)=√x²+√(12-x)²即的最小值
等价于求|x|+|12-x|的最小值
观察得，可将函数分为x∈(-∞,0],x∈(0,12],x∈[12,+∞)分析：
①当x∈(-∞,0]时，h(x)=-x+12-x=12-2x
则当x=0,有h(x)min=12
②当x∈(0,12]时，h(x)=x+12-x=12
则h(x)为常函数，有有h(x)min=12
③当x∈[12,+∞)时，h(x)=x+x-12=2x-12
则当x=12时，有h(x)min=12
即在x∈(－∞,＋∞)，都有h(x)min=12
所以f(x)min=h(x)min+4+9=25