Question

P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，连接EF，求证OP垂直平分EF

P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，连接EF，求证OP垂直平分EF

Answer 1

证明：因为 P是角AOB的平分线上的一点，且PE垂直于OA于点E，OF垂直于OB于点F，
所以 PE=PF(角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等），
所以 点P在线段EF 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
因为 PE垂直于OA于点E，OF垂直于OB于点F，
所以 角OEP=角OFP=直角，
又因为 OP=OP，PE=PF，
所以 直角三角形OPE全等于直角三角形OPF(斜边，直角边），
所以 OE=OF，
所以 点O也在线段EF的垂直平分线上，
因为 点P与点O都在线段EF的垂直平分线上，
所以 OP垂直平分EF(线段的垂直平分线的唯一性）。

Answer 2

设EF OP交于G 证OPE全等OPF 判定定理是AAS（直角，公共边，角平分线） 得PE=PF 角OPE=角OPF 根据等腰三角形性质得EG=FG PG垂直EF 得证