Question

f(x)=(x^4/12)-(mx^3/6)-(3x^2/2) 问: 若当|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为"凸函数"，求b-a的最大值

我的算法是先求导f''(x)=x²-mx-3，然后设x，y是x²-mx-3的两根，则|x-y|=√（m²+12）。
|x-y|的最小值是2√3，所以b-a的最大值是2√3。

但答案是2，我很纠结。
我错在了哪里？
当m取几时，b-a=2？

Answer 1

我记得凸函数是二阶导数大于等于0吧？只要所在的区间大于等于大解，小于等于小解就可以吧……额……那B-A有最大值么？不是无穷大么……

追问

不好意思，由于技术性失误，应为凹函数。

追答

这样啊，那答案应该是2因为有这么一句：f(x)在(a,b)上总为凹函数
也就是说，只要m在这个范围内，f(x)在(a,b)上就是凹函数
m/2-√（m²/4+3）<=x<=m/2+√（m²/4+3）
右边是单调增的，所以右边的最小值是m=-2时，等于1
左边是单调增的，所以左边的最大值是m=2时，等于-1

所以b-a的最大值是2

追问

那我这样做错在哪里，请明示。我在这里迷住了，知道答案为什么对，但不知道自己为什么错，请指点迷津。而且，当m取0时，b-a取12½,当m的绝对值变大时，b-a也会变大，所以12½为什么不可以？

追答

关键在于“总为”凹函数
如果没有那个总字，你的答案是对的
你可以看到，左右两边取的m值是不一样的，你那个x-y默认的m是一样的
总为凹函数就要求只要m在这个范围内，x在（a,b）就符合这个不等式，所以一定要右边取最小，左边取最大，这样说不知道你明不明白。

追问

还是不明白，我还是感觉我的答案也是满足总成立这个条件的，关键是那个m值为什么是不等的啊，不应该相等吗？麻烦您解释一下m为什么不能相等吧，这样我应该能明白了。

追答

你先体会一下那个“总”字，就是说m=0的时候，在（a,b）符合，m=2，m=-2的时候，二阶导数在这个范围内也符合小于等于0的条件。
你算出来那个2√3，a和b分别为-√3和√3，对吧
但如果m=2的时候，x=-√3，二阶导就等于2√3，不满足小于等于0的条件了，这样应该明白你的那个答案为什么是错的了吧~