设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an) 数学归纳法

百度网友f92d8c8fe3
2013-04-20 · TA获得超过6788个赞
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(1)S[1]=a[1]=1/2(a[1]+1/a[1]),于是:a[1]=1=√1-√0
S[2]=a[2]+1=1/2(a[2]+1/a[2]),于是:a[2]=√2-1,S[2]=√2
S[3]=a[3]+√2=1/2(a[3]+1/a[3]),于是:a[3]=√3-√2,S[3]=√3
S[4]=a[4]+√3=1/2(a[4]+1/a[4]),于是:a[4]=√4-√3
于是可以猜想:a[n]=√n-√(n-1);
(2)显然:n=1时成立,假设n=k时,a[k]=√k-√(k-1),S[k]=√k
n=k+1时,S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k=1/2(a[k+1]+1/a[k+1]),
于是:a[k+1]=√(k+1)-√k
即:n=k+1时也成立
由(1)(2)得:a[n]=√n-√(n-1)对于n∈N成立.
追问
S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k=1/2(a[k+1]+1/a[k+1]),
于是:a[k+1]=√(k+1)-√k 这部看不懂
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wsysxdhr
2013-04-20 · TA获得超过197个赞
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楼上正解,过程很详细,赞
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追问
S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k=1/2(a[k+1]+1/a[k+1]),
于是:a[k+1]=√(k+1)-√k 这部看不懂
追答
因为S[k+1]=a1+a2+a3+a4+a5.....+ak+a(k+1)=a[k+1]+S[k]
(楼上步骤中少写一步,“(2)显然:n=1时成立,假设n=k时,”应该为“假设n=k时成立,则a[k]=√k-√(k-1),S[k]=√k”,数学归纳法就不需要我多说了吧)
所以S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k
又由于题设Sn=1/2(a[n+1]+1/a[n+1])
所以S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k=1/2(a[k+1]+1/a[k+1]),
化简之后得a[k+1]=√(k+1)-√k,与所猜想的式子a[n]=√n-√(n-1)形式相同,既得证
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