Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

Answer 1

（1） 因为ABCD为菱形，则CD=AD,∠CDB=∠ADB
又因为PD=PD
则△CDP≌△ADP
则∠DCP=∠DAP
(2)因为ABCD为菱形,∠CBA=60°，∠DBA=30°
在直角三角形PAB中，AB=2，∠PBA=30°，可得PB=(4√3)/3
又因为DP：PB=1：2，则BD=2√3

Answer 2

(1)因为四边形ABCD是菱形,
所以∠ADP=∠CDP,AD=CD
所以三角形ADP与三角形CDP全等
所以∠DCP=∠DAP
(2)同(1)理可得三角形ABP与三角形CBP全等
由菱形ABCD可得∠ABP=30°
因为PA⊥BF
所以三角形ABP为直角三角形,∠PAB=90°
因为AB=2
所以BP=(4/3)倍根号3
又因为DP:PB等于1:2
所以BD=2倍根号2