Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(1-sinC/2，-1)，n=(1，sinC+cosC)，且m⊥n

(1)sinC的值【求出来是3/4，求各位大神看看对不对】
(2)若a^2+b^2=4(a+b)-8，求边c的长度【没解出来，不会用这个条件】

Answer 1

m垂直n，则 有m*n=1-sinC/2-(sinC+cosC)=0,sinC+cosC=1-sinC/2

（1）
sinC+cosC=1-sinC/2，移项得 sinC-sinC/2 = 1-cosC
由二倍角公式得 2sinC/2 cosC/2-sinC/2 = 2(sinC/2)^2
因为sinC/2≠0，所以两边消去sinC/2得 2cosC/2-1 = 2sinC/2
整理得 sinC/2-cosC/2=1/2
根据辅助角公式得sin(C/2-π/4)=√2 /4
再由二倍角公式得cos(C-π/2)=1-2sin(C/2-π/4)^2=3/4
∴sinC=cos(C-π/2)=3/4
(2)
移项、配方得 (a-2)^2+(b-2)^2=0 故a=b=2
由余弦定理 c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=4+4-8cosC
又由（1）中 sinC/2-cosC/2=1/2 可知 sinC/2 > cosC/2 >0
所以 cosC=(cosC/2)^2-(sinC/2)^2 < 0，从而 cosC= -√7/4
所以 c^2=8-8cosC=8+2√7=（1+√7)^2
c= 1+√7