Question

如图，已知以A（1,0）为顶点的抛物线与y轴交于点B，过点B的直线y＝kx＋1与该抛物线交于另一点c（3,4），

与其对称轴交于点D，P为线段BC上的一个动点（点P与B，C不重合），过P作x轴的垂线与这条抛物线交于点E. （1）求k的值和抛物线的表达式 （2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 （3）动点P能否使得四边形ADPE是平行四边形？若能，试求出此时点P的坐标；若不能，试说明理由。

Answer 1

(1)
顶点A(1, 0): y = a(x - 1)²
x = 0, y = a, B(0, a)
y = kx + 1, x = 0, y = a = 1
抛物线: y = (x - 1)²
x = 3, y = 3k + 1 = 4
k = 1

(2)
P的横坐标为x, 纵坐标为y = x + 1
E(x, (x - 1)²)
延长PE, 与x轴交于F
h = FP - FE
= P的纵坐标 - E的纵坐标
= x + 1 - (x - 1)²
= -x² + 3x
0 ≤ x ≤3

(3)
直线y = x + 1
x = 1, y = 2, D(1, 2)
AD = 2
四边形ADPE是平行四边形, 须h = AD = 2
-x² + 3x = 2
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 2, P(2, 3)
舍去x = 1 (D)