Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以每秒2cm的速度在线段AB上由A

向B匀速运动，E点同时以每秒1cm的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，用含t的代数式表示y，并探究何时四边形AFEC的面积最小．

Answer 1

∵AB∥CD
∴∠CAB=∠DCA
∴△ABC∽△CAD (角角）
∵AB=10，BC=6

∴AC=8

∵△ABC∽△CAD

∴CD／AC＝AC／AB

∴CD=6.4

作EG⊥AB,△EGB∽△ACB
∴EG=0.8t
AF=2t,FB=10-2t
S△EFB=½FB·EG=½×﹙10-2t﹚×0.8t
=-0.8t²+4t=-0.8×（t²-5t)=-0.8×(t-2.5)²+5
y=S四边形AFEC=S△ABC-S△EFB=24-4t+0.8t²
当t=2.5时,S△EFB取得最大值，为5
∴S四边形AFEC最小值为19

Answer 2

解：（1）∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC．
∵AC⊥BC，
∴∠D=∠ACy=90°．
∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△A8C中，A8=10，8C=6，
∴AC=8．
∵△ACD∽△BAC，
∴DCAC=AC4B．
∴Dz=AC2AB=6410=32l（cm）；

（3）
作CM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N．
∵S△A5C=12AC•6C=12AB•CM，
∴CM=AC•BCAB=4880=245．
∵C2∥EN，
∴ENCM=BEBC，
∴Ec=CM•BEBC=45t．
S四边形AFEC=S△ABC-S△BEF
=12×6×8-72×（10-jt）×45t
=24-4t+45t2，
即 y=45t2-4t+24．（o＜t＜j）
∵4w＞0，∴y有最小值．
当t=--c2×45=2.5时，y值最小．

Answer 3

1,、由AB∥DC，∠D=90°知∠A=90°，∠DAC+∠CAB=∠CAB+∠BAC=90°，两三角形的三个角分别相等推出相似
2、由AB和BC的长度，勾股定理得出AC=8cm，根据相似三角形边的比例关系，DC=（CA）^2/AB
=6.4cm
3、四边形AFEC的面积=△ABC-△EFB，由E向AB做垂线交AB于G，△EGB也与△BAC相似，由此可求高EG，底边为BF长度可求，即△EFB面积可求，当他面积最大时，四边形面积最小（具体值没算，自己算吧哈）