Question

求欧拉函数的计算公式

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Answer 1

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。
在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。
当R=2时。
由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。
即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

Answer 2

欧拉函数From KeyinWikiJump to: navigation, search在数论，对正整数n，欧拉函数\varphi(n)是少於或等於n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如\varphi(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。 [编辑]φ函数的值\varphi(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 若n是质数p的k次幂，\varphi(n)=p^a-p^{a-1}=(p-1)p^{k-1}，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)。证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩馀定理，A \times B和C可建立一一对应的关系。因此\varphi(n)的值使用算术基本定理便知， 若n = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p}， 则\varphi(n) = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)。 例如\varphi(72)=\varphi(2^3\times3^2)=2^{3-1}(2-1)\times3^{2-1}(3-1)=2^2\times1\times3\times2=24 [编辑]和费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a, m，m\ge2，有 a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m 当m是质数p时，此式则为： a^{p-1} \equiv 1 \pmod p 即费马小定理。de:Eulersche φ-Funktion en:Euler's totient function es:Función fi de Euler fr:Indicatrice d'Euler hu:Euler-függvény it:Funzione phi di Eulero ja:オイラーのφ関数 ko: nl:Indicator van n sl:Eulerjeva funkcija fi sv:Eulers phi-funktion 取自" http://wiki.keyin.cn/index.php/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0"

Answer 3

性质① m是素数时，有φ(m)=m-1
性质② 当m、n互素时，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)
性质③ 对一切正整数n，有φ(p^n)=[p^(n-1)]*(p-1)