Question

1/n*(lnlnn)(lnn)^p 的级数敛散性

Answer 1

∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p).

先讨论∑1/(n·(ln(n))^p) (p ≠ 1)的敛散性.
这个可以用积分判别法, ∫ 1/(x·(ln(x))^p) dx = ∫ 1/(ln(x))^p d(ln(x)) = ln(x)^(1-p)/(1-p)+C (p ≠ 1).
当p > 1时, 无穷积分收敛, 级数收敛.
当0 < p < 1时, 无穷积分发散, 级数发散.

于是当p > 1, 由n充分大时0 < 1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p) < 1/(n·(ln(n))^p),
根据比较判别法, 由∑1/(n·(ln(n))^p)收敛得∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p)收敛.
而当0 < p < 1, 取q使p < q < 1, 则n充分大时有0 < 1/(n·(ln(n))^q) < 1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p).
根据比较判别法, 由∑1/(n·(ln(n))^q)发散得∑1/(n·ln(ln(n))·(ln(n))^p)发散.

p = 1单独讨论, 用积分判别法.
∫ 1/(x·ln(x)·ln(ln(x))) dx = ∫ 1/(ln(x)·ln(ln(x))) d(ln(x)) = ∫ 1/ln(ln(x)) d(ln(ln(x))) = ln(ln(ln(x)))+C.
无穷积分发散, 故级数发散.

综上, 当p > 1时级数收敛, 而当0 < p ≤ 1时级数发散.