Question

高一数学题，急~~~

二次函数f(x)=x^2+bx+c满足f(1)=2,且对于任意实数x不等式f(x)≥4-2x恒成立
（1）求f（x）解析式
（2）解不等式f（x）≤|x+1|
（3）若不等式f（x）-ax≥0对任意的x∈【1,4】都成立，求实数a最大值

Answer 1

【参考答案】

（1）f(1)=2即1+b+c=2，b+c=1
∴ c=1-b
∴f(x)≥4-2x即x²+bx+(1-b)≥4-2x
x²+(b+2)x-(b+3)≥0
由于上式对任意实数x都成立，
故(b+2)²+4(b+3)≤0
(b+4)²≤0
∴b=-4, c=5
∴f(x)=x²-4x+5

(2)x²-4x+5≤l x+1 l
当x≥-1时，x²-4x+5≤x+1
解得 1≤x≤4
当x<-1时，x²-4x+5≤-x-1
解得 x不存在
∴原不等式得解集是1≤x≤4

（3）x²-4x+5-ax≥0
令g(x)=x²-(a+4)x+5≥0
g(x)对称轴是直线x=(a+4)/2，开口向上，与y轴交于(0,5)点
要使g(x)在[1, 4]上函数值非负，
①若(a+4)/2≤0即a≤-4时，满足题意；
②若0<(a+4)/2≤1即-4<a≤-2时，必须f(1)≥0
解得 a≤-2，故a=-2
③若1<(a+4)/2<4即-2<a<4时，必须△=(a+4)²-20≤0
解得 -2√5-4≤a≤2√5-4，故-2<a≤2√5-4
④若(a+4)/2≥4即a≥4时，必须f(4)≥0，
解得 a≤5/4, 不符合要求。
综上，符合要求的a范围是a≤-4或-2≤a≤2√5-4
∴ a的最大值是2√5-4