Question

已知函数f（x）=2sinx（cosx-sinx）+√下2，x属于r（1）求函数的最小正周期和单调递增区间

已知函数f（x）=2sinx（cosx-sinx）+√2，x属于r
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间
（2）求函数f（x)在区间［-π/4，π/6］的最小值和最大值
（3）若x∈(-π,π/3],求使f(x)≥√2的x的取值范围

Answer 1

f(x)=2sinxcosx-2(sinx)^2+√2）
=sin2x+cos2x-1）+√2
=√2sin(2x+π/4）+√2-1
(1)最小正周期为2π/2=π
由2kπ-π/2≤2x+π /4≤2kπ+π/2
得kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8（k∈z)
则单调递增区间【kπ-3π/8，kπ+π/8】（k∈z)
(2)由已知可得-π/4≤2x+π /4≤π/3+π/4
得√2-2≤2sin(2x+π/4）+√2-1 ≤2√2-1
则最小值√2-2， 最大值2√2-1
（3）由f(x)≥√2得sin(2x+π/4）≥√2/2
又2kπ+π/4≤2x+π /4≤2kπ+π3/4
得kπ≤x≤kπ+π/4（k∈z)
当k=-1时 -π≤x≤-3π/4
当k=0时 0≤x≤π/4
由于已知x∈(-π,π/3],
所以-π<x≤-3π/4或 0≤x≤π/4