Question

如图:在三棱锥P-ABC中，PA=PB=根号6，PA垂直PB，AB垂直BC，∠BAC=30，平面PA

如图:在三棱锥P-ABC中，PA=PB=根号6，PA垂直PB，AB垂直BC，∠BAC=30，平面PAB垂直平面ABC

Answer 1

（1）在平面APB上作PD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴PD⊥平面ABC，
AD是AP在平面ABC的射影，
而BC⊥AB，即BC⊥AD，
根据三垂线逆定理，
∴PA⊥BC。
（2）、AP=BP=√6，
〈APB=90度，
△APB为等腰RT△，
AB=√2AP=2√3，
〈CAB=30度，〈ABC=90度，
BC=AB/√3=2，
AC=2BC=4，
由前所述∵BC⊥PC，BC⊥AB，AP∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
PB∈平面PAB，
∴BC⊥PB，
〈PBC=90度，
根据勾股定理，
PC=√（PB^2+BC^2)=√10.
(3) 、在三角形APC中，根据勾股定理逆定理，AC^2=16,AP^2+PC^2=6+10=16,
△APC是RT△，
S△APC=AP*PC/2=√15，
S△ACD=AB*BC/2/2=√3,(D是中点，面积是其一半），
因PD⊥平面ACD，
△ACD是△APC在平面ABC的射影，设二面角P-AC-B平面角为θ，
S△ACD=S△APC*cosθ，
cosθ=√3/√15=√5/5。
θ=arccos(√5/5).
二面角P-AC-B为arccos(√5/5).