Question

在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB+ccosC=acosA,试判断三角形ABC的形状。

Answer 1

bcosB+ccosC=acosA运用正弦定理，得：sinBcosB+sinCcosC=sinAcosAsin2B+sin2C=sin2A=sin2（π-B-C）=-sin(2B+2C)tanB=-tanC,则C-B的绝对值是90度即钝角三角形。

Answer 2

△BAC是RT△
过程：∵bcosB+ccosC=acosA
∴由余弦定理得：
b*[(a^2+c^2-b^2)/2ac]+c*[(a^2+b^2-c^2)/2ab]=a*[(b^2+c^2-a^2)/2bc]
b^2*(a^2+c^2-b^2)+c^2*(a^2+b^2-c^2)=a^2*(b^2+c^2-a^2)
(a^2b^2+b^2c^2-b^4)+(a^2c^2+b^2c^2-c^4)=a^2b^2+a^2c^2-a^4
-b^4-c^4+2b^2c^2= -a^4
-(b^2-c^2)^2= -a^4
|b^2-c^2|=a^2
1' ∵ b^2-c^2=a^2
∴b^2=a^2+c^2
即△是RT△，直角是B
2' ∵ b^2-c^2= -a^2
∴c^2=a^2+b^2
即△是RT△，直角是C
索伊综上可得：△ABC是RT△

Answer 3

bcosB+ccosC=acosA由正弦定理得：sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA 即sin2B+sin2C=2sinAcosA所以2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA 2sinAcos(B-C)=2sinAcosAcos(B-C)=cosA即cos(B-C)+cos(B+C)=02cosBcosC=0所以B=90°或C=90°所以△ABC是直角三角形