Question

已知函数f（x）=x+a^2/x,g（x）=x+lnx,其中a>0. （1）若x=1是函数h（x）=

已知函数f（x）=x+a^2/x,g（x）=x+lnx,其中a>0.
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点,求实数a的值
（2）若对任意的x1,x2∈［1,e］（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）h（x）=f（x）+g（x）=x+a^2/x+x+lnx，x＞0
∴h‘（x）=1-a²/x²+1+1/x=（2x²+x-a²）/x²，x＞0
∵x=1是函数h（x）的极值点
∴h’（1）=2+1-a²=0，a=±√3
又∵a＞0，∴a=√3
（2）g‘（x）=1+1/x=（x+1）/x
令g’（x）=0，解得x=-1
∴g（x）在x∈［1,e］上单调递增，且在x=e处取得极大值g（e）=e+1
∵f（x1）＞g（x2）对任意的x1,x2∈［1,e］恒成立
∴f（x）min＞e+1，x∈［1,e］
f‘（x）=1-a²/x²=（x²-a²）/x²
令f’（x）=0，解得x=±a
1°当a≤1时，f（x）在x∈［1,e］上单调递增
∴f（x）在x=1处取得极小值f（1）=1+a²
∵1+a²＞e+1，∴a＞√e或a＜-√e（舍）
又∵a≤1，∴不成立
2°当a≥e时，f（x）在x∈［1,e］上单调递减
∴f（x）在x=e处取得极小值f（e）=e+a²/e
∵e+a²/e＞e+1，∴a＞√e或a＜-√e（舍）

又∵a≥e，∴a∈［e，+∞）
3°当a∈（1，e）时，f（x）在x∈［1,a）上单调递减，在x∈（a，e］上单调递增
∴f（x）在x=a处取得极小值f（a）=a+1

∵a+1＞e+1，∴a＞e

又∵a∈（1，e），∴不成立
综上所述，a∈［e，+∞）