Question

收敛半径和收敛域

Answer 1

对于1，采用根值审敛法还是比值审敛法要根据级数的形式来判断，如果含有x的n次方显然应该用根值审敛法，如果含有n！显然应该用比值审敛法。
对于2，含有（2x-1）的幂级数只有奇次项，故不能直接使用和x的n次方的幂级数相等的审敛方法。这个是高等教育出版设《高等数学》一书中明确指出的。
对于3，其实和2是同一个问题。这是比值审敛法收敛的条件。都是书中例题。

Answer 2

设f(x)=arcsinx f (0)=0(arcsinx)'=1/√1-x^2 f'(0)=1(arcsinx)''=x(1-x^2)^(-3/2) f''(0)=0(arcsinx)'''=(1-x^2)^(-3/2)+3x^2(1-x^2)^(-5/2) f'''(0)=1f(x)=arcsinx在x=0点展开的三阶泰勒公式为：arcsinx=f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2+(1/6)f'''(0)x^3+o(x^4) 代入以上数值：=x+(1/6)x^3+o(x^4)