Question

高中数学不等式 求解答

设bn=(1+1)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次) cn=4(1-1/2的n次)，求证：对任意的n属于正整数，有bn≥cn
希望有高手给个详细的解答，万分感谢！

Answer 1

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Answer 2

bn=2x3/2x5/4x.......x(2^n+1)/2^n=2x3x5x......x(2^n+1)/2^(1+2+3+...+n)
cn=4(1-1/2^n)=4x(2^n-1)/2^n
对任意的n属于正整数，需证，bn/cn>=1
bn/cn=2x3/2x5/4x.......x(2^n+1)/2^n
= 【 2x3x5x......x(2^n+1)/4x(2^n-1)】/【2^(1+2+3+...+n)/2^n】
= 【 2x3x5x......x(2^n+1)/4x(2^n-1)】 / 2^【(1+n)/2】
提供一个思路，下面还要许多化简

Answer 3

能用数学归纳法证明么？

追问

也行，不过我还是证不出来，你证下看？不过还有别的么？

Answer 4

对任意的n属于正整数，有
bn=(1+1)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次)
=2(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次)
=4[(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次) ]
=4[1-1/2的(n+1)次)]
因为1/2的(n+1)次)<1/2的n次<1
所以1-1/2的(n+1)次>1-1/2的n次>0
得4[1-1/2的(n+1)次)]>4(1-1/2的n次)
对任意的n属于正整数，有bn≥cn

追问

为什么4[(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次) ]是等于4[1-1/2的(n+1)次)]？？？

追答

(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次)
=(1-1/4)(1+1/4)....(1+1/2的n次)
=...
=(1-1/2的n次) (1+1/2的n次)
=1-1/2的(n+1)次

追问

不是1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次)
=(1-1/4)(1+1/4)（1+1/8）....(1+1/2的n次)
=（1-1/16）（1+1/8）....(1+1/2的n次) 的吗？

追答

b1=(1+1)(1+1/2)>4(1-1/2)=c1
b2=(1+1)(1+1/2)(1+1/4)>4(1-1/4)=c2
b3=(1+1)(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)>4(1-1/8)=c2
而(1+1)(1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)=135/32>4
所以当n>3时，有
bn=(1+1)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次) >4(1+1/16)....(1+1/2的n次)>4>4(1-1/2的n次)=cn

追问

好吧，这个我看懂了，但是还是那个问题为什么4[(1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次) ]是等于4[1-1/2的(n+1)次)]不是1-1/2)(1+1/2)(1+1/4)....(1+1/2的n次)
=(1-1/4)(1+1/4)（1+1/8）....(1+1/2的n次)
=（1-1/16）（1+1/8）....(1+1/2的n次)

Answer 5

这个不等式你要学会分解，不要被它的复杂吓到。首先，你可以先把bn和cn都除以2.得到
bn=（1+1/2）(1+1/4)…………而cn=2-1/2的n-1次方之后利用一个中间项。即
bn=（1+1/2）(1+1/4)………….>1+1/2+…………+1/2的n-1次方+1/2的n次方
我们把后面的叫做dn，则dn和cn做差，得到an=1/2+1/4+1/8+……+1/2的n-1次方+1/2的n次方再减去1+1/2的n-1次方。把1/2的这些合并得1，要是不会就把前面的按照等比数列求和等到1-1/2的n-1次方，后面正好有一个1+1/2的n-1次方，最后得到an=1/2的n次方，大于零恒成立，所以………………