Question

已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+√3 asinC-b-c=0，求A

Answer 1

acosC+√3 asinC-b-c=0
acosC+√3 asinC=b+c
由正弦定理,得
sinAcosC+√3 sinAsinC
=sinB+sinC
=sin（A+C）+sinC
=sinAcosC+sinCcosA+sinC
即,√3 sinAsinC =sinCcosA+sinC
因为sinC≠0
所以,√3 sinA-cosA=1
sin（A-30°）=1/2
A=60°

追问

sinAcosC+√3 sinAsinC
=sinB+sinC
=sin（A+C）+sinC

这里是什么意思！

追答

acosC+√3 asinC=b+c
a(cosC+√3 sinC)=b+c
由正弦定理,得

a/sinA=c/sinC=b/sinB
a=csinA/sinC
sinB=bsinC/c
csinA/sinC(cosC+√3 asinC)=b+c

sinA(cosC+√3 asinC)=(b+c)*sinC/c
sinAcosC+√3 sinAsinC=bsinC/c +sinC
sinAcosC+√3 sinAsinC=sinB+sinC

sinAcosC+√3 sinAsinC=sin(180-(A+C))+sinC

sinAcosC+√3 sinAsinC=sin(A+C)+sinC

Answer 2

解：（1）∵acosC+√3asinC-b-c=0，
∴由正弦定理可得sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC，
∴sinAcosC+√3sinAsinC=sin(B+C)+sinC，
∴√3sinA+cosA=1，
∴sin（A-30°）=12，
∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，
∴由余弦定理49=b2+c2-2bccosπ3=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-34(b+c)2=14(b+)2（当且仅当b=c时取等号），
∴b+c≤14，
∵b+c＞7，
∴7＜b+c≤14，
∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．

Answer 3

sinAcosC＋√3sinAsinC－sinB－sinC=0
sinAcosC＋√3sinAsinC－sin(A＋C)－sinC=0
sinAcosC＋√3sinAsinC－sinAcosC－cosAsinC－sinC=0
√3sinAsinC－cosAsinC－sinC=0
√3sinA=1＋cosA
因tan(A/2)=(sinA)/(1＋cosA)=√3/3
得：A/2=30°，即A=60°
二问：S＝1/2
*
bcsinA，由一问可知sinA=√3/2，所以bc=4
由余弦定理得，b^2+c^2-a^2=2bc*cosA
，联立bc=4和余弦定理公式和条件a=2，可得b=2
c=2