Question

已知如图，在△ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形△ABE、△ACF，连结EF，过点A作AD⊥BC

垂足为D，反向延长DA交EF于点M，过点E作EG⊥AM于点G。（1）求证：EG=AD；（2）试猜测EM与FM的关系并说明理由

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Answer 1

（1）∠EAG=∠CAD，而∠CAD=∠ABD，所以∠EAG=∠ABD；另外∠EGA=∠ADB=90°，AE=AB，所以△ABD全等于△EAG，所以AD=EG
（2）EM=MF，理由如下：
过点F做FH∥BC，将GM延长与FH交于H点。
因为∠FAH=90°-∠CAD=∠ACD，AF=AC，∠AHF=∠ADC=90°，所以△ADC全等于△FHA，则FH=AD，而（1）已证得EG=AD，所以EG=FH；另因为EG∥FH，EM:MF=EG:FH=1，所以EM=MF