Question

求解两道数学题。

1.
求x的所有实数解，要过程，谢！
2.

abcd 和 pqrs是正方形。小正方形在大正方形里，位置随机，且四边不平行于大的四边。求证abqp + dcrs = bcrq + adsp





Answer 1

1，

,

2，

如下图所示，分别过点P,Q,R,S向正方形ABCD四边作垂线，分别交与点P1，P2，Q1，Q2，R1，R2，S1，S2。因为APP1=APP2，BQQ1=BQQ2，CRR1=CRR2，DSS1=DSS2，所以我们只需证明梯形PP1Q1Q + 梯形S1SRR1=梯形P2PSS2+ 梯形QQ2R2R，即可得APQP+CDSR=BCRQ+ADSP。

若延长Q2Q交PP1于Q3，延长P1P交SS2于P3，易知PQQ3全等SPP3，所以P1Q1=Q3Q=P3P=S2P2，同理可知P2S2=Q2R2=S1R1=P1Q1，记这个值为m,则DS2+AP2=AP1+BQ1=BQ2+CR2=CR1+DS1，而DS2=SS1，AP2=PP1，AP1=PP2，BQ1=QQ2，BQ2=QQ1，CR2=RR1，CR1=RR2，DS1=SS2，所以同样有SS1+PP1=PP2+QQ2=QQ1+RR1=RR2+SS2得PP1+QQ1+SS1+RR1=RR2+QQ2+SS2+PP2,左边乘以m/2，便得PP1Q1Q+S1SRR1=P2PSS2+QQ2R2R。证毕。

Answer 2

1.
解：log2（2^(x-1) + 3^(x+1) ）=log2(2^ 2x) - log2(3^x),=log2[4/3]^x
则 2^(x-1) + 3^(x+1) =[4/3]^x
又 [4/3]^x=4^x/3^x=(2^x)^2]/3^x
从而 2^(x-1) + 3^(x+1) =(2^x)^2]/3^x
化简，得 （2^x-3^(x+1))(2^x+3^x)=0
2^x-3^(x+1)=0
2^x=3*3^x
(2/3)^(x)=3
∴ x=log(2/3)[3]

追问

第三步是怎么化简到第四步的。。

追答

2^(x-1) + 3^(x+1) =[4/3]^x 　①
①式右边= [4/3]^x=4^x/3^x=(2^x)^2]/3^x　②
由 ①② 得 2^(x-1) + 3^(x+1) =(2^x)^2]/3^x

Answer 3

(1) log2(2^(x-1)+3^(x+1))=2x-log2(3^x)
log2(2^(x-1)+3^(x+1))+log2(3^x)=2x
log2[(2^(x-1)+3^(x+1))*(3^x)]=2x
1/2*2^x+3^(x+1)=2^x*(2/3)^x
1/2+3(3/2)^x=1/(3/2)^x
6*(3/2)^2x+(3/2)^x-2=0
[2(3/2)^x-1][3(3/2)^x+2]=0
即 (3/2)^x=1/2 或 (3/2)^x=-2/3(舍去）
x=log(3/2)(1/2)
(2)

Answer 4

1. log2[2^(x-1)+3^(x+1)]+log2[3^x]=2x
　　log2[2^(x-1)*3^x+3^(2x+1)]=log2[2^(2x)]
　　2^(x-1)*3^x+3^(2x+1)=2^(2x)
　　3*(3^x)^2+1/2*(3^x)*(2^x)-(2^x)^2=0
　　(3^x-1/2*2^x)(3*3^x+2*2^x)=0
　　3^x-1/2*2^x=0 3*3^x+2*2^x=0 (舍去）
　　(3/2)^x=1/2
　　取对数：x(lg3-lg2)=-lg2
　　x=-lg2/(lg3-lg2) ≈-0.3010/(0.4771-0.3010)=-1.7093
2.以D点为原点建立坐标系，设大、小正方形边长分别为L、l，P点坐标为(a,b),PQ与水平夹角t
　　则：A(0,L), B(L,L), C(L,0), D(0,0)
　　Q(a+l*cos(t),b+l*sin(t)), R(a+l*cos(t)+l*sin(t),b+l*sin(t)-l*cos(t)),
S(a+l*sin(t),b-l*cos(t))
2*(S_ABQP+S_DCRS)
=|0,L;L,L|+|L,L;a+l*cos(t),b+l*sin(t)|+|a+l*cos(t),b+l*sin(t);a,b|+|a,b;0,L|+|0,0;L,0|
+|L,0;a+l*cos(t)+l*sin(t),b+l*sin(t)-l*cos(t) |
+|a+l*cos(t)+l*sin(t),b+l*sin(t)-l*cos(t);a+l*sin(t),b-l*cos(t)|+|a+l*sin(t),b-l*cos(t);0,0|
=L^2-l^2
　　∴S_abqp +S_ dcrs =S_ bcrq + S_adsp
说明，多边形面积计算公式参见《数学手册》煤炭工业出版社1976年2月第1版，第68页。
|a,b;c,d|代表2阶行列式。