Question

如图，等腰直角三角形ABC中，角ACB=90°,AD为腰CB上的中线，CE垂直AD交AB于E.求证角

如图，等腰直角三角形ABC中，角ACB=90°,AD为腰CB上的中线，CE垂直AD交AB于E.求证角1=角2

Answer 1

证明：
过B点作BF⊥BC，交CE延长线于F
则∠ABF=∠ACD=90º
∵AD⊥CE
∴∠BCE+∠CDA=90º
∵∠CAD+∠CDA=90º
∴∠BCE=∠CAD
又∵AC=BC
∴⊿ACD≌⊿CBF（ASA）
∴CD=BF，∠CDA=∠F
∵CD=BD
∴BD=BF
∵∠ABC=45º，∠CBF=90º
∴∠ABC=∠ABF=45º
又∵BE=BE
∴⊿DBE≌⊿FBE（SAS）
∴∠F=∠EDB
∴∠CDA=∠EDB

追问

是角1=角2呀！
o_O
我看着好像不等呀?！

追答

这是经典老题，这就是所要证明的结论，替换成∠1、∠2就可以了。

追问

可是我这个图里没有"角F"呀!

追答

“过B点作BF⊥BC，交CE延长线于F”。本题证明必须作辅助线。

追问

我会了（你好像做错了!）

追答

过B点作BF⊥BC，交CE延长线于F
则∠ABF=∠ACD=90º
∵AD⊥CE
∴∠BCE+∠ECA=90º
∵∠CAD+∠ECA=90º
∴∠BCE=∠CAD
又∵AC=BC
∴⊿ACD≌⊿CBF（ASA）
∴CD=BF，∠CDA=∠F
∵CD=BD
∴BD=BF
∵∠ABC=45º，∠CBF=90º
∴∠ABC=∠ABF=45º
又∵BE=BE
∴⊿DBE≌⊿FBE（SAS）
∴∠F=∠EDB
∴∠CDA=∠EDB

上面有个地方写错了：“

∴∠BCE+∠ECA=90º

∵∠CAD+∠ECA=90º”

过B点作BF⊥BC，交CE延长线于F
则∠ABF=∠ACD=90º
∵AD⊥CE
∴∠BCE+∠ECA=90º
∵∠CAD+∠ECA=90º
∴∠BCE=∠CAD
又∵AC=BC
∴⊿ACD≌⊿CBF（ASA）
∴CD=BF，∠CDA=∠F
∵CD=BD
∴BD=BF
∵∠ABC=45º，∠CBF=90º
∴∠ABC=∠ABF=45º
又∵BE=BE
∴⊿DBE≌⊿FBE（SAS）
∴∠F=∠EDB
∴∠CDA=∠EDB

上面有个地方写错了：“

∴∠BCE+∠ECA=90º

∵∠CAD+∠ECA=90º”

追问

设角ACO为角3
因为CE垂直AD
所以角COA=90°
所以角90°-角3
因为角ABC=90°
所以角2=90°-角3
因为90°-角3=90°-角3
所以角1=角2
是这样的吧，还挺简单的，被我想复杂了。
不管怎样也要谢谢你！;-)

追答

哦，看出来了，你的题目只要证明：∠CAD=∠BCE。

Answer 2

过B点作BF⊥BC，交CE延长线于F
则∠CBF=∠ACD=90º
∵AD⊥CE
∴∠BCE+∠CDA=90º
∵∠CAD+∠CDA=90º
∴∠BCE=∠CAD
又∵AC=BC【等腰】
∴⊿ACD≌⊿CBF（ASA）
∴CD=BF，∠CDA=∠F
∵CD=BD【D为BC中点】
∴BD=BF
∵∠ABC=45º，∠CBF=90º
∴∠ABC=∠ABF=45º
又∵BE=BE
∴⊿DBE≌⊿FBE（SAS）
∴∠F=∠EDB
∴∠CDA=∠EDB