Question

已知函数y=x+a/x有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0.√a]上是减函数,在[√a,+∞)上是增函数

已知函数y=x+a/x有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0.√a]上是减函数,在[√a,+∞)上是增函数
(1)如果函数y=x+2^b/x在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求实常数b的值;
(2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)=x+c/x(1≤x≤2)的最大值和最小值
(3)当n是正整数时,研究函数g(x)=x^n+c/x^n(c>0)的单调性,并说明理由.

Answer 1

(1)y'=1-2^b/x^2
当x=4时，y’=0
so:b=4
(2)f'(x)=1-c/x^2
令f'(x)>0,c∈[1,4],则,x∈[1，2]
f'(x)<0，x无解
SO:x在定义域上单增。
最小值=1+1/1=2
最大值=1+4/1=5
(3)g'(x)=n[x^(n-1)-c/x^(n+1)]
g'(x)=0时，x=√c
当x∈（0，√c],g(x)<0,x∈[√c,+∞),g(x)>0
那么该函数在(0.√c]上是减函数,在[√c,+∞)上是增函数

Answer 2

1),由题y=x+2^b/x在(0,√2^b]上是减函数,在[√2^b,+∞)上是增函数
所以√2^b=4,b=4
2)因为1=<√c=<2,所以f(x)在[0,√c]身上时减函数，在【√c，2】上递增
因此最小值为f(√c)=2√c,最大值为max{f(1),f(2)}=max{1+c,2+c/2}(max表示多括号内两个值取最大值)，因为2+c/2-(1+c)=1-c/2
所以当1=<c=<2时，最大值为2+c/2,当2=<c=<4时，最大值为1+c
3)我们只考虑x>0时g(x)的单调性
因为g(x)'=nx^(n-1)-nc/x^(n+1)
=n[x^(2n)-c]/x^(n+1)
我们知道当g(x)'=<0，即0<x=<c^(1/2n)时，g(x)为减函数
当g(x)'>=0，即c^(1/2n)=<x<+∞时，g(x)为增函数
当x<0时可同样讨论