Question

如图十，在△ABC中，AB＝AC＝15， 　　cos∠A＝4/5 ．点M在AB边上，AM＝2MB，点P是 　　边AC上的一个动点

设PA＝x．
　　（1）求底边BC的长；
　　（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，
　　设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系
　　式，并出写出x的取值范围；
　　（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，
　　是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC
　　垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明
　　理由．

Answer 1

　　：（1）作BH⊥AC于点H，

　　∵在Rt△ABH中，cos∠A＝ ，AB＝15，

　　∴AH＝12

　　∴BH＝9．

　　∵AC＝15

　　∴CH＝3．

　　∵BC2＝BH2＋CH2，∴BC2＝92＋32＝90，∴BC＝3 ．

　　（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F

　　∵点O是BC的中点，∴OE＝OF＝ BH＝ ．

　　∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5．

　　∵PA＝x，∴PC＝15－x，

　　∴y ＝ S△ABC－S△BOM－S△COP＝ BH·AC― OE·BM― OF·PC

　　＝ ×9×15－ × ×5－ × ×（15－x）

　　＝ x＋

　　定义域：（0＜x≤15）．

　　（3）①当PN⊥AC时（如图二），作MG⊥AC于点G，

　　∵在Rt△AMG中，cos∠A＝ ，AM＝10

　　∴AG＝8，∴MG＝6．

　　①若点P1在AG上，由折叠知：∠AP1M＝135°，∴∠MP1G＝45°．

　　∵MG⊥AC，∴P1G＝MG＝6，）∴AP1＝AG－P1G＝2．

　　②若点P2在CG上，由折叠知：∠AP2M＝45°．

　　∵MG⊥AC，∴P2G＝MG＝6，∴AP2＝AG＋P2G＝14．

　　③当MN⊥AC时（如图三），

　　由折叠知：∠AMP3＝∠NMP3，P3N3＝AP3＝x，MN3＝MA＝10，

　　∴P3G＝8－x，GN3＝4．

　　∵P3N32＝P3G2＋GN32，∴x2＝（8－x）2＋42，∴x＝5．

　　综上所述，x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．

Answer 2

1、BC^2=15^2+15^2-2×15×15×4/5=90
BC=3倍根号10
2、从O做OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接AO
OD=OE=0.5×15×sin∠A=4.5
四边形AMOP=△AMO+三角形AOP
AM=10
y=0.5×10×4.5+0.5×4.5x=22.5+2.25x
x取值范围0≤x≤15
3、存在
3.1、AM的折线NM⊥于AC于F
AF=AB×cos∠A=8
MF=6
x/10=(8-x)/6
x=5
3.2、AP的折线NP⊥AC于P，做MF垂直于AC于F
∵∠APN=90°
∴∠APM=45°
PF=MF=6
x=AF+PF=14