Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1 讨论函数的单调性

我知道讨论时会有一个-1为分界 我想知道那个-1是哪来的

Answer 1

函数定义域:x∈(0,+∞)，
求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x， 可见f ' (x) 则正负取决于 a与a+1, 因此 以0,-1为分界点，对a进行讨论。1）当a=0，f'(x)=1/x>0，故f(x)在全域单增，
2）当a>0，f'(x)>0，故f(x)在全域单增，
3）当-1<a<0，令f'(x)=0，则x=根号下(-(a+1)/2a)，
列表：x (0,根号下(-(a+1)/2a) 根号下(-(a+1)/2a) (根号下(-(a+1)/2a),+∞)，
f'(x) + 0 -，
f(x) ↗ 极大值 ↘，
故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减，
4）当a≤-1，f'(x)≤0，故f(x)在全域单减
综上当a≥0时，f(x)域上单增
当-1<a<0时，f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
当 a≤-1时，f(x)在定义域单减

Answer 2

f'(x)=2ax 1/x=(2ax^2 1)/x
讨论 ：1、当a大于0时f'(x)恒大于0，所以f（x）单调增加
2、当a<0时，令f'(x)=0,则x1=根号下（-1/（2a））
所以，当x>x1时,f'(x)<0,f(x)单调减少
当x<=x1时，f'(x)>0,f(x)单调增加