Question

设△ABC的内角A,B,C所对的变长分别为a,b,c且acosB-bcosA=3/5c 求tanA*tanB

如题 求详细解答 谢谢!

Answer 1

应该是求tanA*cotB=?吧
由正弦定理：sinA*acosB-sinB*cosA=3/5sinC
sin（A-B）=3/5sin(A+B)=3/5(sinA*cosB+sinB*cosA)
sinAcosB-cosAsinB=3/5(sinA*cosB+sinB*cosA)
2/5sinAcosB=8/5*sinB*cosA
2tanA=8tanB,
tanAcotB=4
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由余弦定理可知：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
把它代入已知式子得到：acosB-bcosA=(a^2-b^2)/c=3/5*c
从而得到a^2-b^2=3/5*c^2 （1）
而tanA/tanB=(sinA/cosA)*(cosB/sinB)=(sinA/sinB)*(cosB/cosA)
由正弦定理得到 sinA/sinB=a/b
再用余弦定理可得到tanA/tanB=(a*cosB)/(b*cosA)=(a^2+c^2-b^2)/(b^2+c^2-a^2)
再把(1)代入上式得到：tanA/tanB=(3/5*c^2+c^2)/(c^2-3/5*c^2)=(8/5*c^2)/(2/5*c^2)=4.