Question

一道高中题 已知f(x)=xInx,g(x)=x^3+ax^2+2.

（1）求函数f(x)的单调区间（2）秋函数f(x)在[t+t+2](t>0)上的最小值（3）对一切的x的x属于(0,正无穷）,2f(x)小于等于g'(x)+2恒成立.求实数a的取值范围

Answer 1

1)定义域 (0,无穷)f(x)=xlnx, f'(x)=x*(1/x)+lnx=1+lne令f'(x)>0, x>1/e; 令f'(x)<0, x<1/e∴f(x)单调增区间为(1/e, 无穷); 单调减区间(0,1/e)2)这题要分类讨论 (那个区间是[t,t+2]吧)若t<=1/e<t+2, 即0<t<=1/e f(x)在[t,1/e)上单调减,在(e,t+2]上单调增 ∴最小值为 f(1/e)=-1/e若t>1/e, f(x)在[t,t+2]上单调增 ∴最小值为f(t)=tlnt综上, 0<t<=1/e时,最小值为-1/e; t>1/e时,最小值为tlnt3)g'(x)=3x^2+2ax即x>0时, 2xlnx<=3x^2+2ax+2恒成立∴a>=lnx-3x/2-1/x恒成立, a大于lnx-3x/2-1/x的最大值令h(x)=lnx-3x/2-1/xh'(x)=1/x-3/2+1/x^2=(-3x^2+2x+2)/2x^2令h'(x)>0, 0<x<(√7+1)/3; 令h'(x)<0, x>(1+√7)/3∴h(x)在(0, (1+√7)/3)上单调增, 在((1+√7)/3, 无穷)上单调减∴最大值为 h((1+√7)/3)=ln(1+√7)/3--√7∴a>=ln(1+√7)/3-√7