Question

已知函数f(x)=ln(2ax+1)+x^3/3-x^2-2ax （a∈R). 1).若y=f(x)在[4,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围...

已知函数f(x)=ln(2ax+1)+x^3/3-x^2-2ax （a∈R).
1).若y=f(x)在[4,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围。
2).但a=-1/2时，方程 f(1-x)=(1-x)^3/3+b/x有实根，求实数b的最大值。
求详细过程~~~

Answer 1

1.y=f(x)在[4,+∞)上为增函数

定义域2ax+1>0对x>=4恒成立

a必须>0

f`(x)=x[2ax^2+(1-4a)x-(4a^2+2)]/(2ax+1)

令g(x)=2ax^2+(1-4a)x-(4a^2+2)

f(x)在[4,+∞)上为增函数

且a>0

∵对称轴=1-4a<1

∴g(4)>=0

32a+4-16a-(4a^2+2)>=0

实数a的取值范围0<a<=3√2-4

2.问题3是第二问

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Answer 2

第一问转化为函数f(x)的导函数在[3,+∞)大于等于0恒成立
第二问化简得xlnx+x-x^2-b=0
令g(x)=xlnx+x-x^2-b
转化为求g(x)的最小值大于零