Question

设函数F（X）在闭区间[a b]上连续，在（a，b）内可导，

证明：在（a，b）内至少存在一点s，使bf(b)-af(a)/b-a=f(s)+sf '(s).

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Answer 1

兄弟，首先你这个题当中有一点需要改一下，就是“设函数F（X）在闭区间[a b]上连续，在（a，b）内可导”当中的“F（X）”改成“f(x)”才行。
解：做一个辅助函数F(x)=xf(x)，然后对于F(x)应用拉格朗日中值定理：由于函数f（X）在闭区间[a b]上连续，在（a，b）内可导,很容易得知函数F（X）在闭区间[a b]上连续，在（a，b）内可导，因此必存在一点s,使得
(F(a)-F(b))/(b-a)=F'(s)然后将F(x)=xf(x)代入即可得到bf(b)-af(a)/b-a=f(s)+sf '(s).

Answer 2

证明：
作辅助函数f(x)＝f(x)e∧g(x)
则f'(x)＝f'(x)e∧g(x)＋f(x)g'(x)e∧g(x)
＝[f'(x)＋f(x)g'(x)]e∧g(x)
显然f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)＝f(b)＝0
由罗尔定理知，至少存在c∈(a，b)，使f'(c)＝0
即
[f'(c)＋f(c)g'(c)]e∧g(c)＝0
而
e∧g(c)≠0
故
f'(c)＋f(c)g'(c)＝0.