Question

求以点C(2,-1)为圆心，且与直线2x+5y=0相切的圆的方程

Answer 1

直线与圆相切说明两图像只交于一点。令圆C的半径为r、切点为P且坐标为(x_0,y_0)。
因为圆的直径与切线垂直，所以过圆心C和切点的直线m的斜率k=-1/（相切直线的斜率）=-1/（-2/5）=2.5=(y+1)/(x-2)
斜率k还等于线上两点的纵坐标变化量和横坐标变化量之比：
2.5=(y+1)/(x-2)
化简得y=2.5x-6
因为两直线交于切点，所以可以通过解以下方程组求出切点坐标：
y_0=2.5x_0-6
2x_0+5y_0=0 即 y_0=-0.4x_0

解得x_0=60/29, y_0=-24/29
圆的半径r=切点和圆心之间的距离：
r^2=(60/29-2)^2+(-24/29+1)^2=(2/29)^2+(5/29)^2=1
圆C的图像的方程为：
(x-2)^2+(y+1)^2=1

Answer 2

2x+5y=0

y=-0.4x
与其垂直的直线是y=2.5x+b过（2，-1）
b=-6
y=2.5x-6与y=-0.4x交点是（60/29，-12/29）
到C(2,-1)距离的平方是293/841
圆的方程是
（x-2）²+（y+1）²=293/841

Answer 3

解：半径r，即C到切线的距离
r=|2×2+5×(-1)|/√(4+25)=√29/29
∴圆的方程：（x-2)²+(y+1）²=1/29

Answer 4

解：圆与直线2x+5y=0相切
则圆心到直线的距离等于半径
即r=d=|2×2+5×(-1)|/√(2²+5²)=√29/29
所以，圆的方程为
(x-2)²+(y+1)²=1/29