Question

已知扇形的圆心角为α，半径为R。

若扇形的周长是一定值c（c>0),当α为多少弧度时，该扇形面积最大？

Answer 1

假定角度α是以数值表示，而不是以度表示

周长c=2R+2πR*α/(2π)=2R+αR=(2+α)R, R=c/(2+α), α=c/R-2

面积S=πR²*α/(2π)=1/2R²(c/R-2)=1/2(cR-2R²)=1/2cR-R²
=c²/16-c²/16+1/2cR-R²
=c²/16-(c/4-R)²
当R=c/4时,S最大=c²/16
此时 α=c/R-2=c/(c/4)-2=4-2=2

Answer 2

C=l+2R
=|A|R+2R
R=C/(A+2)
S=1/2×A×[C/(A+2)]²
=C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚≤C²/16
当且仅当A=4/A，即A=2(A=-2舍去﹚时，扇形面积有最大值