Question

已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (1)若a=－2，求函数f(x)的单调区间

已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).
(1)若a=－2，求函数f(x)的单调区间；
(2)若-5≤a≤0，求函数f(x)在[,√2/2，1]上的最小值及相应的x值；
(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

已知函数f(x)=alnx+x²(a为实常数)；(1)若a=-2，求函数f(x)的单调区间；(2)若-5≤a≤0，求函数f(x)在[√2/2，1]上的最小值及相应的x值；(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.
解：(1)。a=-2时，f(x)=-2lnx+x²；f'(x)=-2/x+2x=(2x²-2)/x=2(x²-1)/x=2(x+1)(x-1)/x；
当x≦-1或0<x≦1时，f'(x)≦0；故在区间(-∞，-1]∪(0，1]内单调减；
当-1≦x<0或x≧1时，f'(x)≧0；故在区间[-1，0)∪[1，+∞)内单调增。
(2)。-5≤a≤0；令f'(x)=a/x+2x=(2x²+a)/x=[(√2)x+√(-a)][(√2)x-√(-a)]/x=0
x=√(-a/2)是极小点，√2/2≦√(-a/2)≦1，1/2≦-a/2≦1，1≦-a≦2，-2≦a≦-1；
minf(x)=f(√(-a/2))=aln√(-a/2)+(-a/2)=(a/2)[ln(-a)-ln2]-a/2，(-2≦a≦-1)；
(3)。1≦x≦e，0≦lnx≦1；alnx+x²≦(a+2)x；a(x-lnx)≧x²-2x；a≧(x²-2x)/(x-lnx)；
设u=(x²-2x)/(x-lnx)，由于在区间[1，e]内，du/dx=[(x-lnx)(2x-1)-(x²-2x)(1-1/x)]/(x-lnx)²
=[(x-lnx)(2x-1)-(x-2)(x-1)]/(x-lnx)²>0；故u=(x²-2x)/(x-lnx)在区间[1，e]单调增，所以应取
a≧u(e)=(e²-2e)/(e-1)=e(e-2)/(e-1).