Question

三道数学题，求解，要详细过程，明天早上要用。在线等，急！！！高手帮下

1.已知α是第三象限角，化简

2.求函数f(t)=在x∈[π/4,π/2）时的值域（其中a为常数）。
3.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)在同一周期内，当x=π/4时y取最大值1，当x=7π/12时，y取最小值-1.
(1)求函数的解析式y=f(x)。
(2)函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象？
(3)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]内的所有实数根之和。

我打不出“派”，用π代替。
大家帮一下嘛，别看了就走，完整回答我再加悬赏
明晚选最佳答案，望大家见谅，至于我的追问，还请大家帮忙答复下





Answer 1

1.√(1+sina)/(1-sina)-√(1-sina)/(1+sina)
=√(1+sina)^2/(1-sina)(1+sina)-√(1-sina)^2/(1+sina)(1-sina)
=[1+sina-(1-sina)]/√(1-sin^2a)
=2sina/|cosa| (因为 a是第三象限的角，所以cosa<0)
=-2tana.
2.解：由题意知，tanx>=1
所以函数等价于g(x)=x^+2ax+5,x>=1
因为x=-a为上述函数的对称轴
所以，当-a<=1时，g(x)在x>=1上单调递增，所以此时值域为：g(x)>=6+2a
当-a>1时，g(x)在1<x<-a上为递减，在x>=-a上为递增，因此在x=-a处取得最小值：g(-a）=5-a^2
此时值域为：g(x)>=5-a^2
综上所述：
当a>=-1时，f（x）>=6+2a
当a<-1时，f(x)>=5-a^2
3.
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．
专题：计算题．
分析：（1）通过同一个周期内，当 x=π4时y取最大值1，当 x=7π12时，y取最小值-1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间，再由已知中自变量的取值范围，进而得到答案．
（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．
解答：解：（1）因为函数在同一个周期内，当x=π4时y取最大值1，当x=7π12时，y取最小值-1，
所以T=2πω=2×(7π12-π4)，
所以ω=3．
因为 sin(34π+φ)=1，
所以 3π4+φ=2kπ+π2，
又因为 |φ|＜π2，
所以可得 φ=-π4，
∴函数 f(x)=sin(3x-π4)．
（2）令3x-π4= kπ+π2，所以x=kπ3+π4，
所以f（x）的对称轴为x=kπ3+π4（k∈Z）；
令-π2+2kπ≤3x-π4≤π2+2kπ，k∈Z，
解得：-π12+2kπ3≤x≤π4+2kπ3，k∈Z
又因为x∈[0，π]，
所以令k分别等于0，1，可得x∈[0，π4]，[7π12，11π12]，
所以函数在[0，π]上的单调递增区间为[0，π4]，[7π12，11π12]．
（3）∵f(x)=sin(3x-π4)的周期为 23π，
∴y=sin(3x-π4)在[0，2π]内恰有3个周期，
∴sin(3x-π4)=a(0＜a＜1)在[0，2π]内有6个实根且 x1+x2=π2
同理，x3+x4=116π，x5+x6=196π，
故所有实数之和为 π2+11π6+19π6=11π2．
点评：本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．

追问

“所以函数等价于g(x)=x^+2ax+5,x>=1”

中“等价于”是什么意思？“g(x)=x^”后会不会打漏了什么，看上去怪怪的

追答

事物A与事物B等价,一般是指A,B在某些方面具有共同的性质,人们在研究这些共同的性质时,对事物A,B不加以区分,认为A,B是同一个事物.
简而言之，就是两个定义可以互推，就称为等价定义。

考点：三角函数的最值；正切函数的值域．
专题：计算题．
分析：由条件可得tanx≥1．令 tanx=t≥1，则函数f（x）=h（t）=t2+2at+5，对称轴为 t=-a，分a≥-1和a＜-1两种情况，分别利用二次函数的性质求出原函数值域．
解答：解：∵x∈[π4，π2)，∴tanx≥1．令 tanx=t≥1，则函数f（x）=h（t）=t2+2at+5，对称轴为 t=-a，
当a≥-1时，-a≤1，t=1时，函数 h（t）有最小值为6+2a，原函数值域为[6+2a，+∞）．
当a＜-1时，-a＞1，t=-a 时，函数 h（t）有最小值为 5-a2，原函数值域为[5-a2，+∞）．
点评：本题主要考查正切函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．

追问

我第三题第二小题问的是“数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象？”
怎么对不上啊？？？

追答

额，我现在没时间给你讲题了，哪天有时间我再讲

Answer 2

(1)万能公式代换,sina=2t/(1+t^2)，t=tan(a/2)，化简可得
原式=2t/(1-t^2)
(2)x∈[π/4,π/2）时,tanx∈[1，∞）所以代换t=tanx∈[1，∞），f(x)=g(t)=t^2+2at+5≥5-a^2
（3）ω(7π/12-π/4)=ωπ/3=π，所以ω=3，f(x)=sin(3x+φ),又|φ|<π/2,f(π/4)=1,所以φ=-π/4
f(x)=sin(3x-π/4)
sinx的变换：f(x)=sin(3x-π/4)=sin[3(x-π/12)],先向右平移π/12单位，横坐标再收缩为原函数1/3
对称轴有x=π/4、x=11π/12、x=19π/12
根据对称性，则所有实根之和为2（π/4+11π/12+19π/12)=11π/2

Answer 3

1. 原式=√[(1+sina)^2/(1-sin^2 a)]-√[(1-sina)^2/(1-sin^2 a)]
=|1+sina|/|cosa|-|1-sina|/|cosa|
=(1+sina)/(-cosa)-(1-sina)/(-cosa)
=2sina/(-cosa)
=-2tana

2. 令u=tanx, 则u>=1
f(u)=u^2+2au+5=(u+a)^2+5-a^2
对称轴为u=-a
若-a<1,即a>=-1, 则f(u)单调增，最小值为f(1)=6+2a,此时f(x)值域为[6+2a,+∞)
若-a>=1,即a<=-1.则f(-a)=5-a^2为最小值,此时f(x)的值域为[5-a^2,+∞)

3.
1)由题意，半周期=7π/12-π/4=π/3=π/w,因此有w=3
又由最大值点w*π/4+φ=π/2，得：φ=π/2-3π/4=-π/4
所以y=sin(3x-π/4)
2)y=sin3(x-π/12)
将sinx在水平方向上右移π/12,再压缩3倍，则得到y.
3) 由sin(3x-π/4)=a
则得：3x-π/4=t及π-t, 其中t=arcsina
故x=(t+π/4)/3及(π-t+π/4)/3
两根之和=(π+π/4+π/4)/3=π/2

追问

第二小题怎样知道“对称轴为u=-a”

追答

那不是二次函数吗？

追问

3.（3）的答案别人是11π/2.你的是π/2，到底谁对啊？？？

追答

第3小问别人的对，我只考虑了一个周期内的值为π/2,
对称轴有x=π/4、x=11π/12、x=19π/12
根据对称性，则所有实根之和为2（π/4+11π/12+19π/12)=11π/2

Answer 4

把第一题 通分成( 1-sina)(1+sina)就可以了。