设a,b,c>0 求证：a^3/(a^2+b^2)+b^3/(b^2+c^2)+c^3/(c^2+a^2)≥(a+b+c)/2
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考虑证明局部不等式: a³/(a²+b²) ≥ a-b/2.
实际上可化为2a³/(a²+b²)-(2a-b) = -2ab²/(a²+b²)+b = b(a-b)²/(a²+b²) ≥ 0.
同理b³/(b²+c²) ≥ b-c/2, c³/(c²+a²) ≥ c-a/2.
三者相加即得a³/(a²+b²)+b³/(b²+c²)+c³/(c²+a²) ≥ (a+b+c)/2.
实际上可化为2a³/(a²+b²)-(2a-b) = -2ab²/(a²+b²)+b = b(a-b)²/(a²+b²) ≥ 0.
同理b³/(b²+c²) ≥ b-c/2, c³/(c²+a²) ≥ c-a/2.
三者相加即得a³/(a²+b²)+b³/(b²+c²)+c³/(c²+a²) ≥ (a+b+c)/2.
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