Question

设函数f（x）=（1/3）mx³+(4+m)x²,g(x)=alnx,其中a≠0

（1）若函数y=g（x）图像恒过定点P，且点P在y=f（x）的图像上，求m的值

（2）当a=8时，设F(x)=f’（x）+g（x），讨论F（x）的单调性
（3）在（1）的条件下，设G（x）{（f（x），x≤1），（g（x），x>1），曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使三角形OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）、函数y=g（x）=alnx图像恒过定点P，则点P为（1，0），将点P得坐标代入f（x）=（1/3）mx³+(4+m)x²，即m/3+（4+m）=0，解得：m=-3。
（2）、f’（x）=mx²+2（4+m）x，所以F（x）=f’（x）+g（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx；
F‘（x）=2mx+2（4+m）+8/x=2（m+4/x）（x+1）；
令F’（x）=0，得：x=-1，x=-4/m；
m<0时，x在（﹣无穷，-1）和（0，-4/m）区间，F’（x）>0，F（x）为单调增函数。
x在（-1，0）和（-4/m，+无穷）区间，F’（x）<0，F（x）为单调减函数。
0<m<4时，x在（﹣无穷，-4/m）和（-1，0）区间，F’（x）<0，F（x）为单调减函数。
x在（-4/m，-1）和（0，+无穷）区间，F’（x）>0，F（x）为单调增函数。
m>4时，x在（﹣无穷，-1）和（-4/m，0）区间，F’（x）<0，F（x）为单调减函数。
x在（-1，-4/m）和（0，+无穷）区间，F’（x）>0，F（x）为单调增函数。
（3）、G（x）=f（x）=x²-x³，（x≤1）；G（x）=g(x)=alnx，（x>1）；
假设存在两点P（s，t）在f（x）上，Q（u，v）在g(x)上符合题目要求，则根据题意有：
t=s²-s³；v=alnu；-s=u；v/u*t/s=-1；解得：a=1/（1+u）lnu；
u>1，所以，a>0。