Question

已知正项数列｛An｝满足A1=a(0＜a＜1)，且A(n+1)≤An/(1+An)，求证An≤a/[

已知正项数列｛An｝满足A1=a(0＜a＜1)，且A(n+1)≤An/(1+An)，求证An≤a/[1+(n-1)a]

Answer 1

 

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Answer 2

因为a(n+1)小于等于a（n）／1＋a（n）所以1／a（n＋1）≥1＋1／a（n），令1／a（n）＝b（n），即b（n）≥1＋b（n－1），…b（2）－b（1）≥1，将不等式左边想加，得b（n）－b（1）≥n－1，又b（1）＝1／a，所以b（n）≥n－1＋1／a，即1／a（n）≥1／a＋n－1，再讲两边同取倒数即可得证