Question

已知在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b²=a²+c²-√3 ac，c=√3

已知在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b²=a²+c²-√3 ac，c=√3 b。（1）求角A？（2）若三角形ABC的外接圆半径为2，求三角形ABC的面积？

Answer 1

(1)
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
=(b^2+3b^2-a^2)/2b*√3b
=(4b^2-a^2)/2√3b^2

∵b^2=a^2+c^2-√3ac
∴b^2=a^2+3b^2-3ab
a^2-3ab+2b^2=0
(a-2b)(a-b)=0
a=2b或 a=b
当a=2b时
cosA=(4b^2-4b^2)/2√3b^2=0
A=π/2 (舍去，因为当A=π/2时，有b^2+c^2=a^2，但题是b²=a²+c²-√3 ac)
当然a=b时
cosA=(4b^2-a^2)/2√3b^2
=√3/2
A=π/6

(2)
a/sinA=2R
a=2R*sinA=2.2*sinπ/6=2
b²=a²+c²-√3 ac

b^2=4+3b^2-2√3*√3b
=4+3b^2-6b^2
b=1
c=√3b=√3
S△=1/2bcsinA
=1/2*1*√3*1/2
=√3/4

Answer 2

cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
=(b^2+3b^2-a^2)/2b*√3b
=(4b^2-a^2)/2√3b^2

∵b^2=a^2+c^2-√3ac
∴b^2=a^2+3b^2-3ab
a^2-3ab+2b^2=0
(a-2b)(a-b)=0
a=2b或 a=b
当a=2b时
cosA=(4b^2-4b^2)/2√3b^2=0
A=π/2
当然a=b时
cosA=(4b^2-a^2)/2√3b^2
=√3/2
A=π/6

(2)1)当a=b时
A=π/6
a/sinA=2R
b=a=2R*sinA=2.2*sinπ/6=2
c=√3b=2√3
S△=1/2bcsinA
=1/2*2*2√3*1/2
=√3
2)当a=2b时
a/sinA=2R
a=2R*sinA=2.2*sinπ/2=4
b=2 c=2√3
S△=1/2bc
=1/2*2*2√3
=2√3