Question

已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1，其中n≥2

已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设bn=an•2-n，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn＞2的n的取值范围．
（3）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an(λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，可得（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=1（n≥2，n∈N*），由此可得结论，并可求通项公式；
（2）利用错位相减法，求得数列{bn}的前n项和，代入不等式，利用函数的单调性，即可求n的取值范围；
（3）要使cn+1＞cn恒成立，即cn+1−cn＝4n+1−4n+(−1)nλ2n+2−(−1)n−1λ2n+1＞0恒成立，分离参数，分类讨论，即可求得结论．
解答：（1）证明：由已知，（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=1（n≥2，n∈N*），…（2分）
即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．
∴an=n+1．…（4分）
（2）解：∵an=n+1，∴bn＝(n+1)•
1
2n

∴Tn＝2×
1
2
+3×
1
22
+…+n•
1
2n−1
+(n+1)•
1
2n
…(1)

∴

1
2
Tn＝2×
1
22
+3×
1
23
+…+n•
1
2n
+(n+1)•
1
2n+1
…(2)

(1)−(2)：
1
2
Tn＝1+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
−(n+1)•
1
2n+1

∴Tn=3−
n+3
2n
…
代入不等式得：3−
n+3
2n
＞2，∴
n+3
2n
−1＜0
设f(n)＝
n+3
2n
−1，∴f(n+1)−f(n)＝−
n+2
2n+1
＜0
∴f（n）在N+上单调递减，…（
∵f(1)＝1＞0，f(2)＝
1
4
＞0，f(3)＝−
1
4
＜0，
∴当n=1，n=2时，f（n）＞0，当n≥3时，f（n）＜0，
所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*…（
（3）解：∵an=n+1，∴cn＝4n+(−1)n−1λ2n+1，
要使cn+1＞cn恒成立，即cn+1−cn＝4n+1−4n+(−1)nλ2n+2−(−1)n−1λ2n+1＞0恒成立，
∴3×4n-3（-1）n-1λ2n+1＞0恒成立，∴（-1）n-1λ＜2n-1恒成立，…
（i）当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ii）当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．…（15分）
综上所述：存在λ=-1，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn．…

Answer 2

1）S(n+1)+S(n-1)=2Sn+1
[S(n+1)-Sn]-[Sn-S(n-1)]=1
a(n+1)-an=1
an=a1+(n-1)d=n+1
2）b1=a1*2-1=3
b2=a2*2-2=4
d=b2-b1=1
Tn=nb1+n(n-1)d=n²+2n
n²+2n>2

n<-1-√3,n>-1+√3
∴n≥1
3）cn=4n+(-1)n-1λ•2an这个看不懂