Question

一道几何体积问题，高中的，求助

已知正方体内接于球O，则所有与正方体的表面及球O的球面都相切的最大的球的体积之和与球O的体积之比为多少

Answer 1

假设正方体棱长是1,则其对角线为√3,则球O的半径为√3/2,则六个与正方体的表面及球O的球面都相切的最大的球的半径为(√3-1)/4,则其总体积为8π[(√3-1)/4]^3=π(3√3-5)/4,而球O的体积为(4/3)π(√3/2)^3=π(√3/2),则其比值为=(3√3-5)/2√3=(9-5√3)/6.

Answer 2

设棱长为2，则
R=√3
r=(√3-1)/2
V=4√3·π
v=(3√3-5)π/3
6v=2(3√3-5)π
η=6v/V=(9-5√3)/2

如果是算与正方体内表面相切，则r=(√3+1)/2
不过应该不会是这种情况吧

追问

这种情况是多少啊

追答

v=(3√3+5)/2
6v/V=(9+5√3)/2