Question

在等差数列{an}中,a1+a2=5,a3=7,记数列{1/anan+1}的前n项和为Sn

(1)求数列{an}的通项公式(2)是否存在正整数m、n,且1<m<n,使得S1、Sm、Sn成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m、n值;若不存在,请说明理由

Answer 1

解：(1)设{an}公比为d，a1+a2=5,a3=7
故a1+a1+d=5，a1+2d=7
故a1=1，d=3
an=1+3(n-1)=3n-2
(2)1/anan+1=1/[(3n-2)(3n+1)]=(1/3)[1/(3n-2)-1/(3n+1)]
Sn=(1/3)[1-1/4+1/4-1/7+……+1/(3n-2)-1/(3n+1)]
=(1/3)[1-1/(3n+1)]

=n/(3n+1)
假设存在正整数m、n,且1<m<n,使得S1、Sm、Sn成等比数列，则
Sm^2=S1Sn 其中Sm=m/(3m+1),Sn=n/(3n+1),S1=1/4

代入得

[m/(3m+1)]^2=n/[4(3n+1)] 整理得
3nm^2-6mn-n+4m^2=0 即n=4m^2/(-3m^2+6m+1)
-3m^2+6m+1>0
故m<=2
又1<m
故m=2此时n=16

故存在m=2，n=16

Answer 2

1) 由已知得：2a_3-(a_1+a_2)=9,即 2d+d=9 所以 d=3
于是 a_n=a_3+（n-3)d=3n-2
2) S_n=Σ(1/(3k-2)(3k+1)=Σ(1/(3k-2)-1/(3k+1))/3=1/3(1-1/(3n+1))=n/(3n+1)
而 s1=1/4是（1/2）的平方，因此若要满足题意Sn必须分子分母都是平方数，只有S16=16/49满足，所以Sm应该为2/7=S2，所以符合条件的m，n的值分别为2和16