Question

高数求证行列式

2cosa 1 0 0 0`````` 0 0
1 2cosa 1 0 0 `````` 0 0
0 1 2cosa 1 0 ``````` 0 0
0 0 1 2cosa 1 ````` 0 0
```````````````````
0 0 0 0 0 ``````2cosa 1
0 0 0 0 0 `````` 1 2cosa
=sin(n+1)a / sina

Answer 1

2cosθ 1 0 ... 0 0
1 2cosθ 1 ... 0 0
...
0 0 0 ... 2cosθ 1
0 0 0 ... 1 2cosθ
=sin(n+1)θ/sinθ
证明:行列式记为Dn.
按第1列展开得: Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时, D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.
假设k<n时结论成立, 则k=n时
Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2)
=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ - sin(n-2+1)θ/sinθ
=2cosθsinnθ/sinθ - sin(n-1)θ/sinθ
=[2cosθsinnθ - sin(n-1)θ]/sinθ
= ......
= sin(n+1)θ/sinθ
所以k=n时结论也成立.
综上可知, 对任意自然数n, Dn=sin(n+1)θ/sinθ.

Answer 2

记上述行列式为D(n)
按第一列展开
D(n)=2cosaD(n-1)+D(n-2)
D(1)=2COSa
然后可以用数学归纳法证明了。

Answer 3

按第一行展开